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本演講主要是介紹存活分析的原理與其應用。

I.存活資料的特徵

先舉例說明：42位leukemia的病患在remission之後，經由隨機分派後，接受6-MP或placebo治療，每組21位。在經過一段時間追蹤後，發現placebo那一組，每一位都relapse，我們可以記錄其復發的時間。但6-MP那一組有12位到研究結束或失去追蹤前仍未”復發”。此即是存活資料的特徵：

1. 發生事件的有無：事件可以是”死亡”、”復發”或其他的定義，資料格式為1或0 ，”1”代表有觀察的事件發生。”0”代表沒有看到所要觀察的事件。
2. 時間：每人發生事件的時間不一，起點與終點需要定義清楚。時間的記錄，為存活分析與一般logistic regression 最大的不同。另外這樣的資料也無法用一般linear regression來分析，因為時間的分布往往都是右偏的，不符合常態分佈。

研究結束時，有些個案在我們的追蹤時間中，並沒有觀察到事件的發生，這樣的情況稱之為censoring。這些個案後來何時發生事件，我們並不知道。Censoring的發生，可以是到研究結束時，都沒有事情發生；也可以是病患中途離開研究。從起點到censor發生，則為censoring time。而從起點到事件發生，則稱之為survival time。而依照觀察時間與censoring的觀係，可分為三種：

1. Right censoring：將時間想像為由左而右的一條線，假設censoring的個案，最後總有一天會發生事件，而此事件是發生在觀察時間的右邊，此即稱為right censoring。
   • Type I censoring：每個人觀察的時間長短是固定的。
   • Type II censoring：這在工業統計上比較常見，比方說觀察到一定數目的產品發生故障為止。
   • Random censoring：則是臨床上常用，進入研究的時間不固定，可以被追蹤的時間也不固定。
2. Left censoring：當病患進入研究時，比方說毒癮者，進入研究開始觀察時，就已經開始使用。事件發生在觀察時間的左邊，為left censoring。
3. Interval censoring：比方說毒癮的治療，病患每個月回診，他可能會說，在某個月中間用了一次，censoring發生在觀察時間的期間，為interval censoring。

無母數估計的一個假設是independent censoring assumption。表示那些censoring 的個案與其他的個案的survival rate是一模一樣的。例如因病危而離開研究的個案，他們的存活率和那些還留在研究中的個案，其存活率顯然不同。

Survival function 的計算。如下圖：
分母(n)為at-risk的個案，分子(d)為仍存活之個案。

• 第一個時間點(t1)，原本有5人，1人發生事件，仍有4人存活。其survival rate為4/5。
• 第二個時間點(t2)，分母只剩下4人，1 人發生事件，仍有3人存活。其survival rate為4/5*3/4=3/5。
• 第三個時間點(c1)，有1人censored，分母剩下2人，沒人發生事件，分子也為2人。Survival rate 4/5*3/4*2/2=3/5。
• 第四個時間點(t3)，分母只剩下2人，1人發事件，只剩1人，survival rate 為4/5*3/4*2/2*1/2=3/10。

當我們作完survival function 之後，要如何檢定兩組存活曲線是否有不同呢？如果只看其中的一個時間點的話，比方說已經我們可以比5年存活率有無不同，可以用2x2table。可是我們現在要比較的是，兩條曲線是否不同。我們可以用Log-rank 的方式，簡單而言，就是每個點都用卡方檢定，如果觀察時間出現四個事件，那麼就要估計四個2x2 table。觀察值減去期望值，再除以變異數，代入公式加以計算即可。但是當log-rank test有其限制，當兩條線有交叉時，就不能用log-rank test。當治療方式變成3組時，還是可以進行。

V.Proportional hazards Regression Models

臨床上，可能不像一開始所舉的例子那個單純，往往有許多confounding factors是無法控制的，因而我們需要control其他的因素，如性別，年齡，disease status。從剛剛的基礎，我們已經可以估計每個點的conditional survival rate(即有治療，或沒治療的狀況下的存活率)，我們也可以估計conditional hazard functions，即每個點上，那些尚存活的人的瞬間死亡率。

Cox根據case control study 與 logistic regression 的精神，發展出Cox model。其式子如下：log (h(t|x))=log (ho(t)) +β1x1 +…+βpxp 。

等號的右邊，是治療與否，或其他的自變項，如X1可以代表接受治療與否。等號的左號，是log hazard rate: log (h(t|x))。

Interpretation of β:例如X1=1,0。exp(β1)=h(t| X1=1)/h(t| X1=0)即是X1=1比上X1=0的relative risk。並且已經控制了X2 X3等變項。exp(β1)即是adjusted treatment effect。

ho(t) 代表所有Xi =0時，發生的風險；如接受placebo(X1=0)，性別為女性(X2=0)。所以ho(t)為base line hazard function。

當兩組的存活曲線有交叉時，我們可以放入time-dependent variable。

log (h(t|x))=log (ho(t)) +β1x1 +…+βp x1*time。可以知道時間與治療之間是否有交互作用。

IV.結論

以上為 survival analysis的簡介，目前許多軟體都可以進行分析。